|
Районная
олимпиада по математике 2004-2005 учебный год
8 класс
1. Известен старинный
способ умножения чисел близких к 100. Находятся дополнения каждого из
чисел до 100. Затем от одного из чисел вычитается дополнение другого
числа и к полученному результату приписывается произведение дополнений.
Например, произведение 98∙93 находится так: дополнение 98 равно 2,
дополнение 93 равно 7; 98 – 7 = 93 – 2 = 91; 2∙ 7 = 14; получаем
98∙93 = 9114. Обоснуйте правильность этого способа.
(4 балла)
2. Доказать, что в
любой трапеции разность боковых сторон меньше разности оснований.
(4 балла)
3. Точка Р лежит
внутри правильного треугольника АВС со стороной 1. Точки К,
L
и М – основания перпендикуляров, опущенных из точки Р на стороны ВС, АС
и АВ соответственно. Найти РК+РL+РМ.
(4 балла)
4. В трёх сосудах
содержится по 100 г растворов кислоты: в первом 70-процентный, во
втором – 60-процентный, в третьем – 30-процентный. Можно ли, смешивая
эти растворы, получить 250 г 59-процентного раствора кислоты?
(4 балла)
5. Имеются две кучи камней. Два игрока забирают поочерёдно
камни. Разрешается взять один из любой кучки или по одному из обеих
кучек. Проигравшим считается тот, кто не сможет сделать хода. Когда
выгодно сделать первый ход, а когда предоставить право первого хода
сопернику.
(4 балла)
6. Математик Х1Х столетия де Морган в ответ на вопрос, сколько ему лет,
ответил: мне было х лет в х2 году. В каком году родился де
Морган?
(4 балла)
7. Можно ли на окружности расположить числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
так, чтобы любые два соседних числа отличались на 3, 4 или 5?
(4 балла)
Посмотреть задания 9 класса |
